Função Composta

 

A função composta pode ser entendida pela determinação de uma terceira função C, formada pela junção das funções A e B. Matematicamente falando, temos que f: A → B e g: B → C, denomina a formação da função composta de g com f, h: A → C. Dizemos função g composta com a função f, representada por gof.

Exemplo 1

Ao considerarmos as funções f(x) = 4x e g(x) = x² + 5, determinaremos:

a) g o f

(g o f)(x) = g(f(x))

g(x) = x² + 5
g(4x) = (4x)² + 5
g(4x) = 16x² + 5

(g o f)(x) = g(f(x)) = 16x² + 5



b) f o g

(f o g)(x) = f(g(x))

f(x) = 4x
f(x² + 5) = 4 * (x² + 5)
f(x² + 5) = 4x² + 20

(f o g)(x) = f(g(x)) = 4x² + 20


Exemplo 2

Vamos determinar g(f(x)) e f(g(x)), em relação às funções f(x) = x + 2 e g(x) = 4x² – 1.


(g o f)(x) = g(f(x))

g(x) = 4x² – 1
g(x + 2) = 4 * (x + 2)² – 1
g(x + 2) = 4 * (x + 2) * (x + 2) – 1
g(x + 2) = 4 * (x² + 2x + 2x + 4) – 1
g(x + 2) = 4 * (x² + 4x + 4) – 1
g(x + 2) = 4x² + 16x + 16 – 1
g(x + 2) = 4x² + 16x + 15

(g o f)(x) = g(f(x)) = 4x² + 16x + 15



(f o g)(x) = f(g(x))

f(x) = x + 2
f(4x² – 1) = (4x² – 1) + 2
f(4x² – 1) = 4x² – 1 + 2
f(4x² – 1) = 4x² + 1

(f o g)(x) = f(g(x)) = 4x² + 1



Por Marcos Noé
Graduado em Matemática

Professor de matemática dá dicas para a prova do Enem na Uerj

Universidade é um dos principais pontos de prova no Rio.
Alunos aprovam iniciativa e aproveitam as dicas de última hora.

Professor de matemática Márcio Barbosa dá aulas em frente ao portão principal da Uerj (Foto: Mariucha Machado / G1)

A poucas horas do início do Exame Nacional do Ensino Médio (Enem), previsto para as 13h deste sábado (26), o professor de matemática Márcio Barbosa dava as últimas dicas para os alunos que chegavam à Universidade Estadual do Rio de Janeiro (Uerj), nesta manhã. O local é um dos principais pontos de prova do Rio.

Enquanto os alunos vão chegando, o professor dá dicas de como resolver de forma rápida e simples algumas questões. "Eu estou relaxando as pessoas fazendo cálculos e resolvendo problemas. Enquanto eles acompanham, acabam esquecendo as preocupações", afirmou Barbosa, que desenvolve o projeto em vias públicas do Centro do Rio.

Depois que dá as explicações, o professor oferece DVDs com aulas que dão dicas de matemática. Cada DVD é vendido por R$20.

O estudante Rosiel Lima, de 25 anos, aprovou a aula do professor e vai tentar fazer curso de engenharia civil na Uerj ou UFRJ. "Ele consegue resolver em segundos o que a gente precisa de minutos".

Sobre o exame
A edição de 2013 do Enem tem 7.173.574 candidatos inscritos. As provas acontecem neste sábado e domingo (27) em 1.661 municípios. Os gabaritos das provas objetivas serão divulgados na página do Inep até o dia 30 de outubro de 2013. A data do resultado individual ainda não foi divulgada.

O G1 traz a cobertura completa do Enem 2013 em todo o Brasil. Nas noites de sábado e domingo, após as provas, o G1 terá um programa ao vivo ouvindo os comentários dos professores do Projeto Educação, da Globo Nordeste, e do cursinho De A a Z, do e do Rio de Janeiro. Também vai publicar a resolução das questões do Enem feitas por professores dos cursos pré-vestibulares Etapa, Oficina do Estudante e Objetivo.

Referencias : http://g1.globo.com/educacao/enem/2013/noticia/2013/10/professor-de-matematica-da-dicas-para-prova-do-enem-na-uerj.html

Postado Por : Thaywan Talles

Jogo Multiplicativo

Jogo Multiplicativo

Organização da turma

• Grupos com quatro alunos ou mais cada. Como variação o professor pode conduzir o jogo com a classe toda.

Recursos

• Sete cartas onde estão marcados um dos seguintes números: 2, 3, 4, 5, 7, 8 e 9.

Objetivo do jogo

• Trabalhar com os alunos a memorização da tabuada, a capacidade de análise, a formulação de hipóteses e a tomada de decisões na resolução de problemas.

Regras

• O jogo pode ser feito em grupos de qutro ou mais alunos.
• Uma pessoa do grupo escolhe quatro cartas, sem que os demais vejam.
• A tarefa dos outros jogadores é tentar ser o primeiro a adivinhar as quatro cartas.
• Na sua vez de jogar, ao jogador só é permitido fazer a pergunta: você tem duas cartas cujo produto é ____ (15, por exemplo).
• O jogador que tem as cartas na mão responde sim ou não.
• Os produtos são registrados em um papel para que todos possam analisar as tentativas, bem como as respostas "sim" ou "não".
• O vencedor é aquele que conseguir dizer, em primeiro lugar, quais são todas as quatro cartas escolhidas.
• Se a resposta não estiver correta, o jogador perde a vez de jogar.

Professor
Baixe as regras do jogo para impressão .http://www.matematica.seed.pr.gov.br/arquivos/File/jogo_multiplicativo_regras.pdf

Função afim

Função afim

A função afim, também conhecida como função de 1º grau, obedece a seguinte lei:

y = ax + b

onde a e b são números reais e a0.

 Na função f(x) = ax + b, o número a é chamado de coeficiente de x e o número b é chamado termo constante.

 Veja alguns exemplos de funções polinomiais do 1º grau:

 f(x) = 5x - 3, onde a = 5 e b = - 3
 f(x) = -2x - 7, onde a = -2 e b = - 7
 f(x) = 11x, onde a = 11 e b = 0

onde podem ocorrer nos seguintes casos: onde a > 0 ou a < 0, observe abaixo:

1º caso: a > 0 teremos então uma função crescente, pois a medida que o valor atribuido a x aumenta, os valores pra y também aumentam. 

ex: f(x) = x + 2

 

Atribuimos valores a x : basta substituir o valor atribuido no lugar de x.

para x = -2 , teremos y = -2+2 = 0 (-2,0)

para x = -1 , teremos y = -1+2 = 0 (-1,1)

para x = 0 , teremos y = 0+2 = 0 (0,2)

para x = 1 , teremos y = 1+2 = 0 (1,3)

para x = 2 , teremos y = 2+2 = 0 (2,4)

Logo o Dom = |R e Img (f) = |R.

2º caso: a < 0 teremos então uma função decrescente, pois a medida que aumentam os valores de x, diminuem os valores de y.

ex: y = -x + 2

O mesmo processo que fazemos na crescente, fazemos na decrescente. Atribuimos valores a x, para acharmos y, e assim formarmos o par ordenado.

Os pares ordenados são os seguintes : para x = -2 =>(-2,4)

                                                           para x = -1 => (-1,3)

                                                           para x = 0 => (0,2)

                                                           para x = 1 => (1,1)

                                                           para x = 2 => (2,0)

onde o Dom = |R e a Img (f) = |R. 

Para encontramos a raiz da função, igualamos f(x) = 0 => ax + b = 0 => x = -b dividido por a.

ex: y = x + 2 , a raiz dessa função é -2/1 = -2

     y = -x + 2, a raiza dessa função é - 2/ -1 = 2/1 = 2. 

Observe os graficos acima, veja qual é o ponto em que a reta corta em x, são exatamnete as raizes encontradas, logo concluimos que as raizes são os pontos em que a reta corta em x.

Estudo dos sinais: Estudar o sinal de uma qualquer y = f(x) é determinar os valor de x para os quais y é positivo, os valores de x para os quais y é zero e os valores de x para os quais y é negativo. Então vamos lá.. pra quem gosta de um bom macetinha ai vai a dica!

 macetinho para estudo de sinais 

 ex: y = 2x - 4

 tomamos a raiz como "centro" (ponto de partida) vemos qual é o sinal de a, neste caso a é positivo, então vamos ao macetinho: " a direita da raiz é o sinal de a, e a esquerda da raiz sinal contrario de a", obeserve que -b/a = 2 (que é nossa raiz) 

 

Se fosse y = -2x - 4, teriamos a raiz igual a 2 também, mais o estudo de sinais mudaria, porque o nosso a é negativo, obeserve.

Mais porque mudou ? simples u.u

Lembra do macetinho? então.. nesse caso o a é negativo, então o sinal que vai ficar a direita da raiz também é negativo!

Postado por: Thaywan Talles

Letra do funk da função quadratica

Se liga ai galera no que eu vou falar,

essa canção vocês vão ter que estudar,

pro vestibular ela é fundamental,

é a famosa função do segundo grau.

Seu grafico da função é a parabola,

sua concavidade depende do A... do A... do A,

se é positivo feliz ela está,

mas se está triste é porque negativo é o A,

corta o eixo Y no zero C,

e das raizes tem que saber,

que a soma é menos B sobre A,

e o produto C sobre A.

E o X do vertice... da parabola,

vale menos B sobre dois A... é..sobre dois A.

E o Y do V .. eh eh.. da parabola,

vale menos delta sobre quatro A.. sobre quatro A.

 

 

 

 

REFERENCIA: http://tudo-matematica.blogspot.com.br/search?updated-max=2011-09-04T07:50:00-07:00&max-results=7

Exercícios sobre Função de 2º Grau

Teste os seus conhecimentos: Faça exercícios sobre Função de 2º Grau e veja a resolução comentada.

 

1° )  Calcule o valor de k de modo que a função f(x) = 4ax² – 4x – k não tenha raízes, isto é, o gráfico da parábola não possui ponto em comum com o eixo x.

∆ < 0
b² – 4ac < 0
(–4)² – 4 * 4 * (–k) < 0
16 + 16k < 0
16k < – 16
k < –1
O valor de k para que a função não tenha raízes reais deve ser menor que – 1.

2°) Determine os valores de p, para que a função f(x) = (m – 2)x² – 2x + 6 admita raízes reais.

Para essa situação temos que ∆ ≥ 0.

∆ ≥ 0
b² – 4ac ≥ 0
(–2)² – 4 * (m – 2) * 6 ≥ 0
4 – 4 * (6m – 12) ≥ 0
4 – 24m + 48 ≥ 0
– 24m ≥ – 48 – 4
– 24m ≥ – 52
24m ≤ 52
m ≤ 52/24
m ≤ 13/6
O valor de m que satisfaça a condição exigida é m ≤ 13/6.

3°)  (Vunesp-SP) O gráfico da função quadrática definida por y = x² – mx + (m – 1), em que m Є R, tem um único ponto em comum com o eixo das abscissas. Determine y associado ao valor de x = 2.

 Um ponto em comum significa dizer uma única raiz, então ∆ = 0.

y = x² – mx + (m – 1)
Substituir m = 2, no intuito de obter a lei da função
y = x² – 2x + (2 – 1)
y = x² – 2x +1
Substituindo x = 2, para determinarmos o valor de y
y = 2² – 2 * 2 + 1
y = 4 – 4 + 1
y = 1
Temos que a equação possui a lei de formação y = x² – 2x +1. E quando x = 2, o valor de y se torna igual a 1.
 

4°)  (UCSal-BA) Determine os pontos de intersecção da parábola da função f(x) = 2x² – 3x + 1, com o eixo das abscissas.

No instante em que a parábola cruza o eixo das abscissas o valo de y ou f(x) é igual a zero. Portanto:
f(x) = 0
2x² – 3x + 1 = 0



Os pontos de interseção são:
x = 1 e y = 0
x = 1/2 e y = 0

REFERENCIA: http://exercicios.brasilescola.com/matematica/exercicios-sobre-funcao-2-o-grau.htm#questao-2139

 

Funções de Segundo Grau

 

1. O grau de uma função

O grau de uma variável independente é dado pelo seu expoente. Assim, as funções de segundo grau são dadas por um polinômio de segundo grau, e o grau do polinômio é dado pelo monômio de maior grau.

Portanto, as funções de segundo grau têm a variável independente com grau 2, ou seja, o seu maior expoente é 2. O gráfico que corresponde a essas funções é uma curva denominada parábola.

No dia-a-dia, há muitas situações definidas pelas funções de segundo grau. A trajetória de uma bola lançada para a frente é uma parábola. Se fizermos vários furos em várias alturas num bote cheio de água, os pequenos jorros de água que saem pelos furos descrevem parábolas. A antena parabólica tem a forma de parábola, originando o seu nome.

2. Definição

Em geral, uma função quadrática ou polinomial do segundo grau é expressa da seguinte forma:

f (x) = ax2 + bx + c, onde a 0

Observamos que aparece um termo de segundo grau, ax². É essencial que exista um termo de segundo grau na função para que ela seja uma função quadrática, ou de segundo grau. Além disso, esse termo deve ser o de maior grau da função, pois se houvesse um termo de grau 3, isto é, ax³, ou de grau superior, estaríamos falando de uma função polinomial de terceiro grau.  

Assim como os polinômios podem ser completos ou incompletos, temos funções de segundo grau incompletas, como:

f (x) = x2 f (x) = ax2 f (x) = ax2+ bx f (x) = ax2 + c

Pode acontecer de o termo de segundo grau aparecer isoladamente, como na expressão geral y = ax²; acompanhado por um termo de primeiro grau, como no caso geral y = ax² + bx; ou também unido a um termo independente ou a um valor constante, como em y = ax² + c.

É comum pensarmos que a expressão algébrica de uma função quadrática é mais complexa que a das funções lineares. Normalmente, também supomos que sua representação gráfica é mais complicada. Mas não é sempre assim. Além disso, os gráficos das funções quadráticas são curvas muito interessantes, conhecidas como parábolas.

Figura 3

3. Representação gráfica da função y = ax²

Como acontece com toda função, para representá-la graficamente temos, antes, de construir uma tabela de valores (Figura 3, ao lado).

Começamos representando a função quadrática y = x², que é a expressão mais simples da função polinomial de segundo grau.

Se unirmos os pontos com uma linha contínua, o resultado é uma parábola, como mostra a Figura 4, abaixo:

Figura 4

Observando atentamente a tabela de valores e a representação gráfica da função y = x² vamos perceber que o eixo Y, das ordenadas, é o eixo de simetria do gráfico.

Além disso, o ponto mais baixo da curva (aquele em que a curva se intercepta com o eixo Y) é o ponto de coordenadas (0, 0). Este ponto é conhecido como vértice da parábola.

Figura 5

Na Figura 5, ao lado, estão as representações gráficas de várias funções que têm como expressão geral y = ax².

Observando com atenção a Figura 5 podemos afirmar:

• O eixo de simetria de todos os gráficos é o eixo Y.
Como x² = (– x)², a curva é simétrica em relação ao eixo das ordenadas.

• A função y = x² é crescente para x > x_v e decrescente para x < x_v. Trata-se de uma função contínua, pois para pequenas variações de x correspondem pequenas variações de y.

• Todas as curvas têm o vértice no ponto (0,0).

• Todas as curvas que estão no semiplano de ordenadas positivas, com exceção do vértice V (0,0), têm ponto de mínimo que é o próprio vértice.

•  Todas as curvas que estão no semiplano de ordenadas negativas, com exceção do vértice V (0,0), têm ponto de máximo que é o próprio vértice.

• Se o valor de a for positivo, os ramos da parábola se dirigem para cima. Ao contrário, se a for negativo, os ramos se dirigem para baixo. Dessa forma, o sinal do coeficiente determina a orientação da parábola:

a > 0, a parábola abre-se para valores positivos de y. a < 0, a parábola abre-se para valores negativos de y.

•	À medida que aumenta o valor absoluto de a, a parábola é mais fechada, isto é, os ramos ficam mais próximos do eixo de simetria: quanto maior |a|, mais a parábola se fecha.
•	Os gráficos de y = ax2 e y = –ax2 são simétricos entre si com relação ao eixo X, das abscissas.

Figura 6

 

Função de 1º grau

Função de 1º grau

 
  Definição
 Chama-se função polinomial do 1º grau, ou função afim, a qualquer função f de IR em IR dada por uma lei da forma f(x) = ax + b, onde a e b são números reais dados e a0.
 Na função f(x) = ax + b, o número a é chamado de coeficiente de x e o número b é chamado termo constante.
 Veja alguns exemplos de funções polinomiais do 1º grau:
 f(x) = 5x - 3, onde a = 5 e b = - 3
 f(x) = -2x - 7, onde a = -2 e b = - 7
 f(x) = 11x, onde a = 11 e b = 0

Gráfico

    O gráfico de uma função polinomial do 1º grau,  y = ax + b, com a0, é uma reta oblíqua aos eixos Ox e Oy.

    Exemplo:

    Vamos construir o gráfico da função y = 3x - 1:
    Como o gráfico é uma reta, basta obter dois de seus pontos e ligá-los com o auxílio de uma régua:

    a)    Para   x = 0, temos   y = 3 · 0 - 1 = -1; portanto, um ponto é (0, -1).
    b)    Para   y = 0, temos   0 = 3x - 1; portanto, e outro ponto é .

    Marcamos os pontos (0, -1) e no plano cartesiano e ligamos os dois com uma reta.

x y 0 -1 0

    Já vimos que o gráfico da função afim y = ax + b é uma reta.
    O coeficiente de x, a, é chamado coeficiente angular da reta e, como veremos adiante, a está ligado à inclinação da reta em relação ao eixo Ox.

    O termo constante, b, é chamado coeficiente linear da reta. Para x = 0, temos y = a · 0 + b = b. Assim, o coeficiente linear é a ordenada do ponto em que a reta corta o eixo Oy.

Zero e Equação do 1º Grau

   Chama-se zero ou raiz da função polinomial do 1º grau f(x) = ax + b, a0, o número real x tal que  f(x) = 0.

   Temos:

   f(x) = 0        ax + b = 0       

   Vejamos alguns exemplos:

1. Obtenção do zero da função f(x) = 2x - 5:
                                       f(x) = 0        2x - 5 = 0       

2. Cálculo da raiz da função g(x) = 3x + 6:
                                       g(x) = 0        3x + 6 = 0        x = -2
      

3. Cálculo da abscissa do ponto em que o gráfico de h(x) = -2x + 10 corta o eixo das abicissas:
   O ponto em que o gráfico corta o eixo dos x é aquele em que h(x) = 0; então:
       h(x) = 0        -2x + 10 = 0        x = 5

 

Crescimento e decrescimento

   Consideremos a função do 1º grau y = 3x - 1. Vamos atribuir valores cada vez maiores a x e observar o que ocorre com y:

x -3 -2 -1 0 1 2 3 y -10 -7 -4 -1 2 5 8       Notemos que, quando aumentos o valor de x, os correspondentes     valores de y também aumentam. Dizemos, então que a     função y = 3x - 1 é crescente.    Observamos novamente seu gráfico:

Regra geral:

a função do 1º grau f(x) = ax + b é crescente quando o coeficiente de x é positivo (a > 0);
a função do 1º grau f(x) = ax + b é decrescente quando o coeficiente de x é negativo (a < 0);

Justificativa:

• para a > 0: se x₁ < x₂, então ax₁ < ax₂. Daí, ax₁ + b < ax₂ + b, de onde vem f(x₁) < f(x₂).

• para a < 0: se x₁ < x₂, então ax₁ > ax₂. Daí, ax₁ + b > ax₂ + b, de onde vem f(x₁) > f(x₂).

Sinal

   Estudar o sinal de uma qualquer y = f(x) é determinar os valor de x para os quais y é positivo, os valores de x para os quais y é zero e os valores de x para os quais y é negativo.
    Consideremos  uma função afim y = f(x) = ax + b vamos estudar seu sinal. Já vimos que essa função se anula pra raiz . Há dois casos possíveis:

  1º) a > 0 (a função é crescente)

         y > 0       ax + b > 0         x >

         y < 0      ax + b < 0         x <

    Conclusão: y é positivo para valores de x maiores que a raiz; y é negativo para valores de x menores que a raiz

2º) a < 0 (a função é decrescente)

          y > 0  ax + b > 0            x <

         y < 0  ax + b < 0        x >

Conclusão: y é positivo para valores de x menores que a raiz; y é  negativo para valores de x maiores que a raiz.

 Espero ter ajudado voçes , :D

Referencia : http://www.somatematica.com.br/emedio/funcao1/funcao1_3.php

Postado por : Thaywan Talles