Propriedades Dos Radicais

RADICAIS

A raiz de índice par de um número não-negativo é um número real não-negativo.

A raiz de um radical de índice ímpar tem o mesmo sinal do radicando.

Potência com expoente fracionária: relacionando radiciação com potenciação.

Se a é um número real positivo, m é um número inteiro e n é um número natural não-nulo, temos:

Propriedades dos radicais
1ª propriedade:

Para os radicais de índice n de uma potência com expoente também igual a n temos:

se n é um número natural ímpar, então:

sendo a um número real;

se n é um número natural par não-nulo, então:

com a um número real.

2ª propriedade:

Dividindo-se o índice e o expoente do radicando por um mesmo número natural maior que zero, o valor do radical não se altera, ou seja:

1. sendo a um número real positivo, m um número inteiro, n um número natural não-nulo e p divisor de m e n.

2. Essa propriedade permite simplificar certos radicais, isto é, transformá-lo em outros radicais mais simples e equivalentes aos radicais dados.

3ª propriedade:

O radical de índice natural não-nulo n de um produto , com a e b números reais positivos, é igual ao produto dos radicais de mesmo índice n dos fatores (a e b) do radicando, ou seja:

4ª propriedade:

O radical de índice natural não-nulo n de um quociente , com a e b números reais positivos, é igual ao quociente dos radicais de mesmo índice n dos termos a e b do radicando, ou seja:

1. Essas propriedades permitem simplificar certos radicais, tirando fatores do radicando.
2. Da mesmo forma que podemos tirar fatores do radicando, podemos fazer o inverso, ou seja, introduzir fatores externos no radicando. Veja os exemplos:

Observações:

Não se pode somar nem subtrair radicais diferentes. Imagine as raízes como letras.

Letras iguais: podem ser somadas ou subtraídas, divididas ou multiplicadas. Letras diferentes se podem apenas ser divididas ou multiplicadas uma pelas outras:

Analogamente ao que acontece com os radicais: É impossível fazer: x + y ou x – y, mas é possível fazer: xy e x/y ou ainda x + x = 2x e x – x = 0.

Mais exercícios resolvidos clique no link:

http://www.blogviche.com.br/2007/03/25/questionarious-1-potenciacao-e-radiciacao/

FONTE : http://exatas-aqui.blogspot.com.br/2010/03/propriedades-dos-radicais.html

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Teste de QI de Einstein

Regras básicas para resolver o teste

Há 5 casas de diferentes cores;
Em cada casa mora uma pessoa de uma diferente nacionalidade;
Esses 5 proprietários bebem diferentes bebidas, fumam diferentes tipos de cigarros e têm um certo animal de estimação;
Nenhum deles têm o mesmo animal, fumam o mesmo cigarro ou bebem a mesma bebida.

Dicas:

O Norueguês vive na primeira casa.
O Inglês vive na casa Vermelha.
O Sueco tem Cachorros como animais de estimação.
O Dinamarquês bebe Chá.
A casa Verde fica do lado esquerdo da casa Branca.
O homem que vive na casa Verde bebe Café.
O homem que fuma Pall Mall cria Pássaros.
O homem que vive na casa Amarela fuma Dunhill.

O homem que vive na casa do meio bebe Leite.
O homem que fuma Blends vive ao lado do que tem Gatos.
O homem que cria Cavalos vive ao lado do que fuma Dunhill.
O homem que fuma BlueMaster bebe Cerveja.
O Alemão fuma Prince.
O Norueguês vive ao lado da casa Azul.
O homem que fuma Blends é vizinho do que bebe Água.

- Cor
- Nacionalidade
- Bebida
- Cigarro
- Animal
1ª Casa
2ª Casa
3ª Casa
4ª Casa
5ª Casa

Aula De Matemática

Pra que dividir sem raciocinar
Na vida é sempre bom multiplicar
E por A mais B
Eu quero demonstrar
Que gosto imensamente de você

Por uma fração infinitesimal,
Você criou um caso de cálculo integral
E para resolver este problema
Eu tenho um teorema banal

Quando dois meios se encontram desaparece a fração
E se achamos a unidade
Está resolvida a questão

Pra finalizar, vamos recordar
Que menos por menos dá mais amor
Se vão as paralelas
Ao infinito se encontrar
Por que demoram tanto os corações a se integrar?
Se infinitamente, incomensuravelmente,
Eu estou perdidamente apaixonado por você

Porque eu fazia do amor um cálculo matemático errado: pensava que, somando as compreensões, eu amava. Não sabia que, somando as incompreensões é que se ama verdadeiramente

Exemplo 1
(Unit-SE) Uma determinada máquina industrial se deprecia de tal forma que seu valor, t anos após a sua compra, é dado por v(t) = v₀ * 2 ^–0,2t, em que v₀ é uma constante real. Se, após 10 anos, a máquina estiver valendo R$ 12 000,00, determine o valor que ela foi comprada.
Temos que v(10) = 12 000, então:

v(10) = v0 * 2 ^–0,2*10
12 000 = v0 * 2 ^–2
12 000 = v0 * 1/4

12 000 : 1/ 4 = v0

v0 = 12 000 * 4

v0 = 48 000

A máquina foi comprada pelo valor de R$ 48 000,00.

Uma função pode ser representada através de um gráfico, e no caso da exponencial, temos duas situações: a > 0 e 0 < a < 1. Observe como os gráficos são constituídos respeitando as condições propostas:

Uma função exponencial é utilizada na representação de situações em que a taxa de variação é considerada grande, por exemplo, em rendimentos financeiros capitalizados por juros compostos, no decaimento radioativo de substâncias químicas, desenvolvimento de bactérias e micro-organismos, crescimento populacional entre outras situações. As funções exponenciais devem ser resolvidas utilizando, se necessário, as regras envolvendo potenciação.

Para descontrair o clima de estudo postaremos algumas piadas!

Jesus está no Monte das Oliveiras ensinando, quando de repente se levanta e diz:
y = 3x² + 2x - 3.
Espantado, um de seus discípulos pergunta:
"O que é isso, Mestre?"
Ao que Jesus responde: "Calma, é apenas mais uma parábola...".

Joãozinho pergunta para Marcelinho:
- Quantas vezes você morre?
Marcelinho responde:
Uma só! E você?
Joãozinho completa: "Eu também, mas a Alanis Morrisete".

Alfredinho sempre tirava notas baixas em matemática. Até que chega o fim do bimestre e ele entrega o boletim à sua mãe. Encantada, ela observa a nota dez em matemática. Sem se conter, ela pergunta:
- Filho, me diga o que fez você mudar deste jeito. Foram as freiras?
Alfredinho balança a cabeça negativamente.
- O que foi, então? — insiste a mãe — Foram os livros, a disciplina, a estrutura de ensino, o uniforme, os colegas? Me diz o que foi...
Ele olha para a mãe e diz:
Foi o medo, mãe. No primeiro dia, quando eu vi aquele cara pregado no sinal de mais, percebi que eles não estavam de brincadeira.

O professor de matemática pergunta ao aluno:
- Luizinho.
- Pode perguntar, professor.
- Se você tivesse 30 reais num bolso e 70 no outro, o que teria?
- A calça de uma outra pessoa, professor!

As estatísticas mostram que as pessoas que vivem mais são justamente as que fazem mais aniversários.

Música é igual a Matemática

Os acordes (três notas simultaneamente executadas em um instrumento) podem ser consonantes ou dissonantes.

Os consonantes são os que normalmente se aprendem primeiro. Os dissonantes são usados por instrumentistas de técnica avançada.

Os primeiros são, isoladamente, mais agradáveis ao ouvido, de modo que reconfirma o aprendizado primeiramente por eles.

Isoladamente, por sua vez, os dissonantes parecem totalmente 'desafinados', isto é, fora da combinação melódica e harmônica de uma música.

Entretanto, caso queira se fazer uma experiência, num braço de violão por exemplo, é muito mais fácil executar um acorde dissonante pressionando-se as cordas em pontos aleatórios do que um consonante, uma vez que os consonantes obedecem sempre a uma regra fixa, ao passo que os dissonantes tem muita liberdade na entrada de tons que os compõem.

Os consonantes são suficientes para se executar qualquer música, mas o uso dos dissonantes enriquece a peça musical. As sutilezas dos acordes dissonantes dão um tempero a mais à composição total.

Há regras para os dissonantes, mas não são muito claras. Há algumas, e eu não sei quais são; mas há.

Nos consonantes é bem simples. Para se fazer um acorde de dó-maior, ou si-menor, ou sol-maior, sempre se usa a mesma regra.

Assim, só necessitamos guardar duas seqüências numéricas: 4 -> 7 para tons 'maiores' e 3 -> 7 para os 'menores'.

Fá-maior é composto de 4-7 e, Fá-menor, 3-7; assim como quaisquer outros.

Mas o que é isto, '3-7' e '4-7'?

É a distância entre uma nota e outra, ou seja, os intervalos entre as notas.

Vamos ver o nome das notas:

Dó, Ré, Mi, Fá, Sol, Lá, Si

No violão, que é o instrumento mais popular e fácil de verificar isto, cada traço que existe no braço do instrumento significa meio-tom.

Tom é a distância entre dois traços (trastes).

Então, de Dó para Ré, há 2 traços. Tomando como referência o ponto em que a corda vibrada é Dó, subindo em direção à boca do violão duas 'casas' encontra-se o Ré.
Mas qual o nome damos à nota que fica no 'traste' imediato ao Dó?
Ele se chama Dó-sustenido, e se representa por Dó#.

Um semitom, no violão, é um traste além do traste anterior.

Sustenido é o nome que se dá a este semitom para quase todas as notas, exceto às notas Mi e Si.

Assim, sucessivamente, o traste além do Ré, o pegado a ele, é Ré-sustenido (Ré#).

Mas cuidado, de novo: Mi não tem sustenido; Si também não sustenido!

Sabe por quê? Porque na natureza, se você for ferindo a corda a partir de Dó e ir subindo até Si, a última nota, verá que o 'gostoso' de ouvir os sons paulatinos acontece de dois em dois trastes, exceto quando você passa da nota Mi e da nota Si, se você continuar a pular de dois em dois seus toques.
Logo após ao Mi e ao Si a coisa desafina.

Após o Mi você consegue uma boa sonoridade na escala agradável se avançar um traste apenas. A partir dele, dois trastes são exigidos para continuar em direção a Si.

Quando você atinge o Si nada impede de você continuar avançando na direção da boca do violão.
Além do Si você retoma a nota Dó para começar tudo de novo. Esta repetição das notas, agora mais agudas na execução do som, é que significa 'uma oitava mais alta'.

Além do Si, você também irá ferir a musicalidade, se tentar continuar indo de dois em dois trastes.

Mi e Si não tem sustenidos. Após o Mi é Fá; após o Si é Dó (começando uma escala nova, uma oitava nova; acima).

O acorde de Dó-maior é formado pelas notas

Dó, Mi, Sol.

O acorde de Ré-maior é formado pelas notas

Ré, Fá#, Lá.

O acorde de Lá-maior é formado pelas notas

Lá, Dó#, Mi.

Todos estes obedecem à regra '4-7', por serem 'maiores'. Vamos ver o por quê?

Primeiramente que isto não é arbitrário: é a natureza que é assim. Segundo, só deduzimos isto observando a matemática da coisa.

Vamos ao primeiro acorde maior: Dó-maior.

Entre Dó e Mi há 4 semitons:
De Dó para Dó#, de Dó# para Ré, de Ré para Ré# e de Ré# para Mi;

Entre Sol e Dó há 7 semitons:
De Dó para Dó#, de Dó# para Ré, de Ré para Ré#, de Ré# para Mi, de Mi para Fá, de Fá para Fá# e de Fá# para Sol.

Se você fixar a primeira nota (tônica), aquela que dá o nome ao acorde e contar quantos trastes existem até encontrar a segunda nota, verá que tem 4 traços; se continuar tendo a primeira como base, vai encontrar 7 traços distante para a terceira nota do acorde em tom maior.

Assim, é fácil saber a composição de cada acorde. É só fazer assim.

a) Numere todas as notas e seus sustenidos. Quando terminar a sétima nota, a Si, continue escrevendo as notas para uma nova oitava e continue numerando todos os semitons encontrados.

Assim, teremos.

Dó=1
Dó#=2
Ré=3
Ré#=4
Mi=5
Fá=6
Fá#=7
Sol=8
Sol#=9
Lá=10
Lá#=11
Si=12
'continuando na próxima oitava
Dó=13
Dó#=14
Ré=15
Ré#=16
Mi=17
Fá=18
Fá#=19
Sol=20
Sol#=21
Lá=22
Lá#=23
Si=24

Como seria então, o acorde de Sol-menor?
No caso, teremos de usar a combinação 3-7, que dá os acordes em tom menor.

Na nossa referência acima, Sol ganhou o número 8.
Como teremos de usar a seqüência que calcula um tom em menor (queremos Sol-menor), então vamos procurar a outra nota. No caso, seria 3 notas além (regra 3-7):

A segunda então será a nota 8 + 3 (posição da nota Sol, mais o primeiro número da regra), que é a nota = 11.

A nota 11 na nossa escala é a nota Lá# (Lá-sustenido).

A terceira nota procurada é 7 a mais do que a tônica.

Logo, 8 + 7 = 15.

A referência à nota 15 é a nota Ré.

Então, o acorde de Sol-menor ficou

Sol-Lá#-Ré.

Se fosse acorde de Sol-maior, seria

Sol-Si-Ré.

Veja que mudou apenas a nota intermediária, pois agora usamos, em cima da tônica, a regra '4-7'.

FONTE: http://www.infoescola.com/curiosidades/musica-e-igual-a-matematica/

Propriedades dos Logarítmos

1°Propriedade:

Aqui temos a Prostaférese. Veja que do lado esquerdo da igualdade temos log de uma multiplicação, e na direita uma soma de logs.

Para provar essa propriedade não é tão difícil. Tente acompanhar o raciocínio. Faz de conta que temos um número x que é a soma de dois logaritmos que estão na mesma base b:

Se temos esta igualdade, podemos colocar a mesma base b dos dois lados como potenciação:

Agora a gente pode aplicar a propriedade de potenciação:

E agora aplicar a 4° conseqüência, estudada no capítulo anterior:

E ficamos com:

Agora aplicamos a equivalência fundamental:

e chegamos no valor que queríamos demonstrar.

2° Propriedade:

Esta é quase a mesma coisa que a anterior, mas em vez de multiplicação temos a divisão e no lugar da soma vira subtração. A demonstração é extremamente parecida com a 1° propriedade. Tente demonstrar você, siga os passos da anterior.

3° Propriedade:

Esta propriedade é uma "extensão" da primeira. Veja o exemplo abaixo com o expoente 2:

sabemos que

agora aplicamos a primeira propriedade

Poderíamos ter saído da primeira linha diretamente para a última, essa é a facilidade de saber esta propriedade.

Uma maneira de visualizar esta propriedade, e tentar decorá-la mais facilmente, é imaginando a figura abaixo:

Veja algumas aplicações:

(UFRGS) A raiz da equação é

     (A) 6
     (B) 3,5
     (C)
     (D)
     (E)

Começamos aplicando a volta da equivalência fundamental:

Agora vemos que esta resposta não está nas alternativas. Portanto, devemos fatorar o 12:

Aplicamos a 1° Propriedade Operatória

Mas o sabemos que vale 2. Portanto:

Resposta correta, letra "E".

(UCS) Se e , então vale

     (A)
     (B)
     (C)
     (D)
     (E)

Este tipo de questão é clássico nos vestibulares do Brasil. Peguei este exemplo pois não possui muita dificuldade.
Começamos fatorando sempre o logaritmo pedido, neste caso o 12.

Agora devemos aplicar as propriedades operatórias:

E substituímos os valores dados no enunciado:
2a+b, Resposta correta, letra "B".

Definição de logaritmo:Logaritmo é um estudo da matemática que depende maciçamente do conhecimento sobre potenciação e suas propriedades, pois para encontrar o valor numérico de um logaritmo, é preciso desenvolver uma potência transformá-la em um logaritmo.

a x = b ↔ x = log a b

Onde: a é a base
b é logaritmando
x é o valor do logaritmo

Equações exponenciais (2)

Formas de resolução

Michele Viana Debus de França*

Veja as equações, no universo dos reais:

1)

Essa equação (de 1^o grau) fica resolvida quando "isolamos" a incógnita x. Assim:

Já essa equação (de 2^o grau) é resolvida, entre outras formas, pela fórmula resolutiva de equação do 2^o grau, ou fórmula de Bhaskara:

Nesse caso, não é possível nem isolar a incógnita - pois x é o expoente -, nem utilizar uma fórmula resolutiva.

A idéia aqui é: o 3 deve ser elevado a qual expoente para resultar em 81?

A resposta é 4. Ou porque sabemos que

, ou porque, fatorando 81, obtemos

Mas nem sempre é possível pensar assim e obter o valor da incógnita de imediato. Tente desenvolver o mesmo raciocínio na equação
Equações que apresentam a incógnita no expoente são chamadas deequações exponenciais.

De forma prática, existem duas tentativas possíveis de resolução:

1^a) Escrever os dois membros da equação na mesma base, usando fatoração ou propriedades das potências, dependendo do caso:

a)

Como se trata de uma igualdade e as bases são iguais nos dois membros (3), podemos trabalhar apenas com os expoentes:

Aqui devemos nos lembrar de algumas das propriedades das potências:

Assim:

2^a) Usar substituição
a)

Nesse caso, percebemos não ser possível escrever os dois membros da igualdade na base que está elevada a x (base 3), pois 12 não pode ser fatorado só na base 3 e, além disso, não existe uma propriedade das potências que reduza a subtração de potências de mesma base a uma só potência
Observe, então, a estratégia:
Utilizaremos outra propriedade das potências