Equações exponenciais (2)

Formas de resolução

Michele Viana Debus de França*

Veja as equações, no universo dos reais:

1) 

Essa equação (de 1^o grau) fica resolvida quando "isolamos" a incógnita x. Assim:

2)  Já essa equação (de 2o grau) é resolvida, entre outras formas, pela fórmula resolutiva de equação do 2o grau, ou fórmula de Bhaskara: 3)  Nesse caso, não é possível nem isolar a incógnita - pois x é o expoente -, nem utilizar uma fórmula resolutiva. A idéia aqui é: o 3 deve ser elevado a qual expoente para resultar em 81? A resposta é 4. Ou porque sabemos que , ou porque, fatorando 81, obtemos  Mas nem sempre é possível pensar assim e obter o valor da incógnita de imediato. Tente desenvolver o mesmo raciocínio na equação  Equações que apresentam a incógnita no expoente são chamadas deequações exponenciais. De forma prática, existem duas tentativas possíveis de resolução: 1a) Escrever os dois membros da equação na mesma base, usando fatoração ou propriedades das potências, dependendo do caso: a)  Como se trata de uma igualdade e as bases são iguais nos dois membros (3), podemos trabalhar apenas com os expoentes: b)  Aqui devemos nos lembrar de algumas das propriedades das potências: Assim: 2a) Usar substituição a) Nesse caso, percebemos não ser possível escrever os dois membros da igualdade na base que está elevada a x (base 3), pois 12 não pode ser fatorado só na base 3 e, além disso, não existe uma propriedade das potências que reduza a subtração de potências de mesma base a uma só potência  Observe, então, a estratégia: Utilizaremos outra propriedade das potências Agora substituiremos por uma variável qualquer (y, por exemplo): E teremos apenas que resolver uma equação do 2o grau! Mas ainda devemos voltar à substituição , pois o objetivo era determinar a incógnita x: para , e para , b) (UFRGS - adaptada)  Vamos usar a propriedade , só que "ao contrário", ou seja:  Agora a substituição : Note que também foi usada outra propriedade das potências: . E agora é só resolver a equação de 1o grau! Como , temos: *Michele Viana Debus de França é licenciada em matemática pela USP e mestre em educação matemática pela PUC-SP.