Propriedades dos Logarítmos

1°Propriedade:

Aqui temos a Prostaférese. Veja que do lado esquerdo da igualdade temos log de uma multiplicação, e na direita uma soma de logs.

Para provar essa propriedade não é tão difícil. Tente acompanhar o raciocínio. Faz de conta que temos um número x que é a soma de dois logaritmos que estão na mesma base b: 

Se temos esta igualdade, podemos colocar a mesma base b dos dois lados como potenciação: 

Agora a gente pode aplicar a propriedade de potenciação: 

E agora aplicar a 4° conseqüência, estudada no capítulo anterior: 

E ficamos com: 

Agora aplicamos a equivalência fundamental:  e chegamos no valor que queríamos demonstrar.

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2° Propriedade:

Esta é quase a mesma coisa que a anterior, mas em vez de multiplicação temos a divisão e no lugar da soma vira subtração. A demonstração é extremamente parecida com a 1° propriedade. Tente demonstrar você, siga os passos da anterior.

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3° Propriedade:

Esta propriedade é uma "extensão" da primeira. Veja o exemplo abaixo com o expoente 2:

 sabemos que 

 agora aplicamos a primeira propriedade

Poderíamos ter saído da primeira linha diretamente para a última, essa é a facilidade de saber esta propriedade.

Uma maneira de visualizar esta propriedade, e tentar decorá-la mais facilmente, é imaginando a figura abaixo:

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Veja algumas aplicações:

(UFRGS) A raiz da equação  é

     (A) 6
     (B) 3,5
     (C) 
     (D) 
     (E) 

Começamos aplicando a volta da equivalência fundamental: Agora vemos que esta resposta não está nas alternativas. Portanto, devemos fatorar o 12: Aplicamos a 1° Propriedade Operatória Mas o  sabemos que vale 2. Portanto: Resposta correta, letra "E".

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(UCS) Se  e , então  vale

     (A) 
     (B) 
     (C) 
     (D) 
     (E) 

Este tipo de questão é clássico nos vestibulares do Brasil. Peguei este exemplo pois não possui muita dificuldade. Começamos fatorando sempre o logaritmo pedido, neste caso o 12. Agora devemos aplicar as propriedades operatórias: E substituímos os valores dados no enunciado: 2a+b, Resposta correta, letra "B".